Модуль числа в Python — функции abs() и math.fabs()

Содержание

Что такое модуль числа
Abs
Fabs
Основные свойства модулей

Запускаю китайскую реплику "ТАРДИС", и вот мы в пятом классе. На доске нарисована числовая ось, а на ней выделен отрезок. Его начало в точке 4, а конец — в 8. Учительница говорит, что длину отрезка можно найти путём вычитания координаты начала отрезка из координаты его конца. Вычитаем, получаем 4, и радуемся — мы нашли длину. Ура! 🎉

Перемещаемся на год вперёд, и там происходит странное: учительница выделяет мелом другой отрезок, но делает это в каком-то неправильном месте — левее точки с цифрой "0". Теперь перед нами старая задача, но с новыми числами и даже буквами: A, B, минус 4 и минус 8. Мы начинаем искать длину отрезка AB = [-4;-8]:

Переводим непонимающий взгляд с получившейся отрицательной длины на довольную улыбающуюся учительницу, а затем на доску. Там наверху, рядом с сегодняшней датой, написана тема урока: "Модуль числа".

Что такое модуль числа

Модуль числа называют абсолютной величиной

Для вещественных чисел модуль определяется так:

Формула модуля числа для вещественных чисел

Т.е. в любом случае, модуль — число большее или равное 0. Поэтому отрицательная длина в примере хитрой учительницы должна была быть взята по модулю:

Тогда дети бы увидели, что геометрический смысл модуля — есть расстояние. Это справедливо и для комплексных чисел, однако формальное определение для них отличается от вещественного:

, где z — комплексное число: z = x + iy.

В Python для нахождения модуля числа применяются две функции: fabs() из подключаемой библиотеки math и встроенная функция abs().

Abs

В то время как math.fabs() может оперировать только вещественными аргументами, abs() отлично справляется и с комплексными. Для начала покажем, что abs в python работает строго в соответствии с математическим определением.

# для вещественных чисел
print(abs(-1))
print(abs(0))
print(abs(1))

> 1
> 0
> 1

Как видно, с вещественными числами всё в порядке. Перейдём к комплексным.

# для комплексных чисел
print(complex(-3, 4))
print(abs(complex(-3, 4)))

> (-3+4j)
> 5.0

Если вспомнить, что комплексное число выглядит так: z = x + iy, а его модуль вычисляется по формуле:

, то можно без труда посчитать, что sqrt(3**2 + 4**2) действительно равно 5.0.

Можно заметить, что abs() возвращает значения разных типов. Это зависит от типа аргумента:

print(type(abs(1)))
> <class 'int'>

print(type(abs(1.0)))
> <class 'float'>

print(type(abs(complex(1.0, 1.0))))
<class 'float'>

В этом кроется ещё одно отличие abs() от fabs(). Функция из модуля math всегда приводит аргумент к вещественному типу, а если это невозможно сделать — выбрасывает ошибку:

print(type(math.fabs(complex(2,3))))
> TypeError: can't convert complex to float

Fabs

Для начала работы с fabs() необходимо импортировать модуль math с помощью следующей инструкции:

import math

Мы уже выяснили, что fabs() не работает с комплексными числами, поэтому проверим работу функции на вещественных:

print(math.fabs(-10))
print(math.fabs(0))
print(math.fabs(10))

> 10.0
> 0.0
> 10.0

Функция производит вычисления в соответствие с математическим определением, однако, в отличие от abs(), всегда возвращает результат типа float:

print(type(math.fabs(10)))
> <class 'float'>

Основные свойства модулей

# Квадрат модуля = квадрату числа
print(pow(4, 2) == pow(abs(4), 2))
> True

# |x| = |-x|
print(abs(-10) == abs(10))
> True

# Модуль произведения = произведению модулей: |ab|=|a||b|
print(math.fabs(11 * 3) == math.fabs(11) * math.fabs(3))
> True

# Аналогично для деления: |a/b|=|a|/|b|
print(math.fabs(48/8) == math.fabs(48) / math.fabs(8))
> True

# |a ** b| = |a| ** b
print(abs(2 ** 10) == abs(2) ** 10)
> True

И еще несколько важных неравенств:

m <= |m|
-|m| <= m
|m| >= 0
|m + n| <= |m| + |n|
|m – n| <= |m| + |n|
|m| - |n| <= |m + n|
|m + n| >= ||m| - |n||
|m – n| >= ||m| - |n||