upd:

11.05.2023

54.7K

Как извлечь корень в Python (sqrt)

Содержание

Что такое квадратный корень
Квадратный корень

Положительное число
Отрицательное число
Ноль
Кубический корень
Корень n-степени
Решение реальной задачи с использованием sqrt

Если вам нужно найти сторону квадрата, когда известна одна лишь его площадь, или вы намерены рассчитать расстояние между двумя точками в декартовых координатах, то без особого инструмента не обойтись. Математики прошлого придумали для этих вычислений квадратный корень, а разработчики Python воплотили его в функции sqrt().

Но обо всём по порядку.

Что такое квадратный корень

Корнем квадратным из числа "X" называется такое число "Y", которое при возведении его во вторую степень даст в результате то самое число "X".

Операция нахождения числа "Y" называется извлечением квадратного корня из "X". В математике для её записи применяют знак радикала:

Нотация питона отличается в обоих случаях, и возведение в степень записывается при помощи оператора "**":

a = 2
b = a ** 2

print(b)
> 4

А квадратный корень в питоне представлен в виде функции sqrt(), которая существует в рамках модуля math. Поэтому, чтобы начать работу с корнями, модуль math нужно предварительно импортировать:

import math

Функция sqrt() принимает один параметр — то число, из которого требуется извлечь квадратный корень. Тип данных возвращаемого значения — float.

import math
import random

# пример использования функции sqrt()
# отыщем корень случайного числа и выведем его на экран

rand_num = random.randint(1, 100)
sqrt_rand_num = math.sqrt(rand_num)

print('Случайное число = ', rand_num)
> Случайное число =  49

print('Корень = ', sqrt_rand_num)
> Корень =  7.0

Квадратный корень

Положительное число

Именно на работу с неотрицательными числами "заточена" функция sqrt(). Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:

import math

print(math.sqrt(100))
> 10.0

А можете — из вещественных:

import math

print(math.sqrt(111.5))
> 10.559356040971437

Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:

print(math.sqrt(70.5))
> 8.396427811873332

# возвести в степень можно так
print(8.396427811873332 ** 2)
> 70.5

# а можно с помощью функции pow() 
print(pow(8.396427811873332, 2))
> 70.5

Отрицательное число

Функция sqrt() не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.

Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.

Поэтому, если передадите отрицательное число в sqrt(), то получите ошибку:

print(math.sqrt(-1))
> ValueError: math domain error

Ноль

Функция sqrt() корректно отрабатывает с нулём на входе. Результат тривиален и ожидаем:

print(math.sqrt(0))
> 0.0

Кубический корень

Само название функции sqrt() намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:

Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида 1/n.

# Квадратный корень можно извлечь с помощью операции возведения в степень "**" 
a = 4
b = a ** 0.5

print(b)
> 2.0

В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:

👉 Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:

print(pow(8, 1/3))
> 2.0

Или же:

print(8 ** (1/3))
> 2.0

Корень n-степени

То, что справедливо для корня третьей степени, справедливо и для корней произвольной степени.

# извлечём корень 17-й степени из числа 5600

x = 5600
y = 17
z = pow(x, (1/y))

print(z)
> 1.6614284717080507

# проверяем корректность результата
print(pow(z, y))
> 5600.0

Но раз уж мы разбираемся с математической темой, то попытаемся мыслить более обобщённо. С помощью генератора случайных чисел с заданной точностью будем вычислять корень случайной степени из случайного числа:

import random

# точность можно задать на ваше усмотрение
x = random.randint(1, 10000)
y = random.randint(1, 100)
z = pow(x, (1 / y))
print('Корень степени', y, 'из числа', x, 'равен', z)

# при проверке вероятны незначительные расхождения из-за погрешности вычислений
print('Проверка', pow(z, y))
# но специально для вас автор накликал целочисленный результат
> Корень степени 17 из числа 6620 равен 1.6778624404513571
> Проверка 6620.0

Решение реальной задачи с использованием sqrt

Корень — дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.

Соотношение a2 + b2 = c2, где "a" и "b" — катеты, а "c" — гипотенуза — естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.

📡 Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:

Ваше местоположение;
Центр Земли;
Пиковая высота вышки.

Модель готова, приступаем к написанию кода:

import math

# расстояние от вас до вышки
from_you_to_base_station = 23

# радиус земли
earth_radius = 6371

# расчет расстояния от центра земли до пика сооружения по теореме Пифагора
height = math.sqrt(from_you_to_base_station ** 2 + earth_radius ** 2)

# расчет высоты вышки(км)
base_station_height = height - earth_radius

print('Требуемая высота(м): ', round(base_station_height * 1000)) 

> Требуемая высота(м):  42

Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.